國家公務員考試的難度讓許多人都大喊太難了,但是為了,我們能做的就是不斷地充實自己,完善自己。容斥問題作為國家公務員考試考試時的必考點,它的解題方法和技巧我們必須要牢固的掌握,才能更好地迎接考試,甚至是做到快人一步。為此,中公教育專家給大家整理了容斥問題在做題時的常用技巧。

一、概念

容斥問題即包含與排斥問題,它是一種計數問題。在計數時,幾個計數部分有重復包含時,為了不重復計數,應從他們的和中排除重復部分,采用這種計數方法的題型稱為容斥問題。簡單來說就是要做到不重不漏。此類題目的題目特點為:題中給出多個概念,各個概念之間有集合關聯。

二、解題原則

將重復計數的次數變為一次,或者說是把重疊的面積變為一層,做到不重不漏。即先不考慮重疊的情況,把包含于某內容中的所有對象的數量先計算出來,然后再把計數時重復計算的數量剔除掉,把遺漏的數量補上,使得計算結果既無遺漏又無重復。

三、解題方法——公式法

1.兩者容斥: 2.三者容斥: 3.容斥極值: 四、經典例題

【例1】某科研單位共有68名科研人員,其中45人具有碩士以上學歷,30人具有高級職稱,12人兼而有之。既沒有高級職稱也沒有碩士以上學歷的科研人員有多少人?

A.13 B.10 C.5 D.8

【解析】C。根據題目可知題中涉及的項目共有兩個,屬于二者容斥的問題。直接利用兩者容斥的公式將相關數據帶入可得: ,求得 。選擇C選項。

【例2】學校開設三門選修課,某年級有240人,其中有120人選擇英語寫作,有95人選擇書法,有78人選擇精算學,其中有105人選擇三種學科中的至少兩種,30人三中學科都選擇了,問該年級三種都沒選的有多少人?

A.122 B.82 C.112 D.216

【解析】B。認真分析題目不難發現題中共出現了三個項目,因此該題為三者容斥問題。在該題中要注意的是題中說有105人選擇三種學科中的至少兩種,至少兩種包含了兩種及三種兩種情況。因此根據公式結合不重不漏的原則可得: ,將相關數據帶入可以求得: 。故選擇B。

【例3】一次考試共有200人參加,共5道題,凡答對3題或3題以上就為合格??荚嚱Y果為:答錯第一題的28人,答錯第二題的42人,打錯第三題的30人,答錯第四題的32人,答錯第五題的18人,則合格的至少有多少人?

A.120 B.175 C.150 D.100

【解析】C。分析題目可知題中涉及的項目較多有5項,且題干要求的是合格人數至少位多少,可以初步判定此為容斥極值問題。但是分析后會發現直接求解合格人數至少有多少無法求解,此時需要反向去求。要求合格人數至少即求不合格人數至多。要求不合格人數最多,根據題目可知當每人只錯三題時不合格人數最多。而答錯的總題數為: ,所以不合格人數最多為 ,則合格人數至少為: 。選擇C選項。

容斥問題在考試過程中若出題較為簡單則直接利用公式法求解即可,偶爾也可以結合文氏圖進行加以分析幫助思路更加的清晰。而要注意的是在多者容斥極值中需要我們更加的用心和細心的去分析題干。千磨萬擊還堅勁,任爾東西南北風,因此只要我們將基礎打扎實了,多加練習,相信大家都能!

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